miércoles, 26 de enero de 2011
Triángulo

Triángulo

De Wikipedia, la enciclopedia libre
El triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Contenido

Convención de escritura

Un triángulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C, ...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es \widehat{POQ} .\,

También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:

\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \ et\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,


Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

  • como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó \pi/3\, radianes.)
  • como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales[1] ), y
  • como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
Triángulo equilátero. Triángulo isósceles. Triángulo escaleno.
Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

  • Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
  • Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
  • Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Triángulo Rectángulo Triángulo Obtusángulo Triángulo Acutángulo
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}
Oblicuángulos

Se llama triángulo oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

  • Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.
  • Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.
  • Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).


Los triángulos rectángulos pueden ser:

  • Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.
  • Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.


Los triángulos obtusángulos pueden ser:

  • Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.
  • Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Triángulo equilátero isósceles escaleno
acutángulo Triángulo equilátero.svg Triángulo acutángulo isósceles.svg Triángulo acutángulo escaleno.svg
rectángulo Triángulo rectángulo isósceles.svg Triángulo rectángulo escaleno.svg
obtusángulo Triángulo obtusángulo isósceles.svg Triángulo obtusángulo escaleno.svg

Congruencia de triángulos

Artículo principal: Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

TriánguloPostulados de congruencia
Postulado LAL.svg Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
Postulado ALA.svg Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
Postulado LLL.svg Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

TriánguloTeoremas de congruencia
Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencias de triángulos rectángulos

  • Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
  • Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
  • Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
  • Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos

Artículo principal: Triángulos semejantes

 

  • Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes
  • Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
  • Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:

  • Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
  • Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
  • Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los triángulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.
Un tetraedro.

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.

Después del punto y el segmento, el triángulo es el polígono más simple. Es el único que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un plano). Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman un cuadrilátero, cuatro puntos que no estén en el mismo plano no definen un polígono, sino un tetraedro

Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos que se forman con una triangulación del polígono. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n − 2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

Triangle with notations 2.svg
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de al lado (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

  • La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
  • El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
  • Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}
El teorema de Pitágoras gráficamente.
  • Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,
b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,
c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,
  • Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2 \,


Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.

Para resolver triángulos utilizamos generalmente el Teorema de Pitágoras cuando son triángulos rectángulos, o los Teoremas del seno y del coseno.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Artículo principal: Funciones trigonométricas
Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo son encontrados como sigue:

  • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h.
  • El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamos interesados, en este caso a.
  • El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo en que estamos interesados y el de ángulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el cateto adyacente es b.

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

\text{sen} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. En nuestro caso

\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.

Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamaño del triángulo rectángulo, mientras contenga el ángulo A, puesto que todos esos triángulos son semejantes.

Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

\theta = \arcsin \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

\theta = \arccos \left( \frac{\color{Blue}\textrm{adyacente}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

\theta = \arctan \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Blue}\textrm{adyacente}} \right)

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin−1, cos−1, etc., es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

Elementos notables de un triángulo

Medianas y centro de gravedad

Artículo principal: Mediana (geometría)
Medianas y centro de gravedad de un triángulo.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, G en la figura, llamado centroide o baricentro del triángulo. Si éste es de densidad homogénea, entonces el centroide G es el centro de masas del triángulo.[3] 

Continúa en: http://lobitobueno.webcindario.com/triangulo.txt


Tags: wikipedia, triángulo, polígono, vértices, ángulo, criterio, postulado

Publicado por blasapisguncuevas @ 2:28  | + Artículos y Wikipedia
Comentarios (0)  | Enviar
Comentarios
Añadir comentario