miércoles, 26 de enero de 2011
Espacio vectorial
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Vector space illust.svg

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Contenido

[editar] Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K_{}^{} (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V_{}^{} no vacío, dotado de dos aplicaciones:

\begin{matrix} Suma\;\;+: & {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & {(u,v)} & \mapsto & {u+v} \end{matrix} operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
u+v=v+u, \forall{} u,v \in{} V
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
u+(v+w)=(u+v)+w, \forall{} u,v,w \in{} V
3) tenga elemento neutro 0, es decir
\exists{}0 \in{} V : u+0=u, \forall{} u \in{} V
4) tenga elemento opuesto, es decir
\forall{} u \in{} V,\exists{}-u \in{} V : u+(-u)=0

\begin{matrix} Producto\;\;\cdot{}: & {K \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & {(a,u)} & \mapsto & {au} \end{matrix} operación externa tal que:

a) a(bu)=(ab)u,\forall{}a,b\in{}K,\forall{} u \in{} V
b) \exists{}1 \in{} K,1u=u,\forall{} u \in{} V
c) a(u+v)=au+av,\forall{}a\in{}K,\forall{} u,v \in{} V
d) (a+b)u=au+bu,\forall{}a,b\in{}K,\forall{} u \in{} V

Los elementos de K_{}^{} se llaman escalares.

Los elementos de V_{}^{} se llaman vectores.

Véase también: Espacio euclídeo
Véase también: Vector (espacio euclídeo)

[editar] Observación

Para demostrar que un conjunto V_{}^{} es un espacio vectorial:

  • Si supiésemos que V_{}^{} es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
  • Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de V_{}^{} tendríamos probados los apartados a y b.
  • Si no se dice lo contrario, au \neq ua .

[editar] Notaciones

  • Un K_{}^{}-espacio vectorial es un espacio vectorial sobre un cuerpo K_{}^{}.
  • u-v:=u+(-v), también (-u)+v:=-u+v.
  • 0:=\vec{0}, se distingue del escalar cero por el contexto(este último aún no ha salido).

[editar] Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean 0_1^{} y 0_2^{} dos vectores neutros, entonces:
  • u + 0_1 = u = u + 0_2 \Rightarrow u + 0_1 = u + 0_2 \Rightarrow 0_1 = 0_2 \Rightarrow \exists ! 0 \in V .

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean -u_1^{} y -u_2^{} dos vectores opuestos de u_{}^{}, entonces, como el neutro es único:
  • u -u_1 = 0 = u -u_2 \Rightarrow u -u_1 = u -u_2 \Rightarrow -u_1 = -u_2 \Rightarrow \exists ! -u \in V.

Unicidad del elemento 1_{}^{} en el cuerpo K_{}^{}:

supongamos que 1 no es único, es decir, sean 1_1^{} y 1_2^{} dos unidades, entonces:
  • a1_1 = a = a1_2 \Rightarrow a1_1 = a1_2 \Rightarrow 1_1 = 1_2 \Rightarrow \exists ! 1 \in K.

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K_{}^{}:

supongamos que el inverso a_{}^{-1} de a, no es único, es decir, sean a_1^{-1} y a_2^{-1} dos opuestos de a_{}^{}, entonces, como el neutro es único:
  • aa_1^{-1} = 1 = aa_2^{-1} \Rightarrow aa_1^{-1} = aa_2^{-1} \Rightarrow a_1^{-1} = a_2^{-1} \Rightarrow \exists ! a^{-1} \in K.

Producto de un escalar por el vector neutro:

  • a0 = a(0+0)=a0+a0 \Rightarrow 0=a0_{}^{}.

Producto del escalar 0 por un vector:

  • 0u = (0+0)u=0u+0u \Rightarrow 0=0u_{}^{}.

Si au=0 \Rightarrow a=0 o u=0_{}^{}.

  • Si a=0 es cierto. Si a \neq 0 \Rightarrow \exists ! a^{-1} \in K : a^{-1}a=1 \Rightarrow u=1u=(a^{-1}a)u=a^{-1}(au)=a^{-1}0=0 \Rightarrow u = 0.

Signos equivalentes:

  • u+(-1)u=1u+(-1)u=(1-1)u=0u=0 \Rightarrow (-1)u=-u_{}^{}.

[editar] Notación

  • -au:=-(au)=(-a)u=a(-u).

[editar] Primer ejemplo con demostración al detalle

Queremos ver que \mathbb{R}^2 es un espacio vectorial sobre \mathbb{R}

Veamos pues que \mathbb{R}^2 juega el papel de V_{}^{} y \mathbb{R} el de K_{}^{}:
Los elementos u \in V=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times{}\mathbb{R} son, de forma genérica, u=(x,y), es decir, pares de números reales.
En V_{}^{} defino la operación u+v = (x1,y1) + (x2,y2) := (x1+x2,y1+y2) = (x3,y3) que pertenece a V_{}^{}, esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
1)u+v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) = (x2,y2) + (x1,y1) = v+u, es decir u+v=v+u.
2)u+(v+w) = u + ((x2,y2) + (x3,y3)) = u + (x2+x3,y2+y3) = (x1,y1) + ( (x2+x3) , (y2+y3) ) = (x1+(x2+x3),y1+(y2+y3)) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3), ahora véase que (u+v)+w es lo mismo, es decir u+(v+w)=(u+v)+w.
3)u+(0,0) = (x,y)+(0,0) = (x+0,y+0) = (x,y) = u, es decir (0,0)=0 cero de V.
4)u = (x,y), u+(-x,-y) = (x,y)+(-x,-y) = (x-x,y-y) = (0,0) = 0, es decir -u:=(-x,-y) en general.
defino la operación au = a(x,y) := (ax,ay) = (x2,y2) que pertenece a V_{}^{}, esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.
a) a(bu) = a(b(x,y)) = a(bx,by) = (a(bx),a(by)) = ((ab)x,(ab)y) = (ab)(x,y) = (ab)u, es decir a(bu)=(ab)u.
b) 1u = 1(x,y) = (1x,1y) = (x,y) = u, es decir 1u=u.
c) a(u+v) = a((x1,y1)+(x2,y2)) = a(x1+x2,y1+y2) = (a(x1+x2),a(y1+y2)) = (ax1+ax2,ay1+ay2) = (ax1,ay1)+(ax2,ay2) = au+av, es decir a(u+v)=au+av.
d) (a+b)u = (a+b)(x,y) = ((a+b)x,(a+b)y) = (ax+bx,ay+by) = (ax,ay)+(bx,by) = au+bu, es decir (a+b)u=au+bu.

Queda demostrado que es espacio vectorial.

[editar] Representación de espacios vectoriales

Aunque hay quien no recomienda el uso de pinturas para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello veamos las notas:

  • Llamaremos vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremos).
  • La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.
  • El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
  • Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo(final) del primer vector con el extremo que no lo tiene(origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

Examinemos cada uno de los casos que aparecen en la definición:

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.
Vetorial space P.GIF
1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.
Vectorial space P 1.GIF
2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.
Vectorial space P 2.GIF
3) Decir que existe un vector 0 tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.
Vectorial space P 3.GIF
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.
Vectorial space P 4.GIF
La definición producto por escalar a \cdot u produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.
  • Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

Por un lado la representación del producto en el caso K = \mathbb{R} modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso K = \mathbb{C} además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

Vectorial space P e.GIF
a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.
Vectorial space P a.GIF
b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.
Vectorial space P b.GIF
c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.
Vectorial space P c.GIF
d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.
Vectorial space P d.GIF

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

[editar] Historia

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3] El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[6]

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

 Ejemplos de espacios vectoriales

 Los cuerpos

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo

Continúa en:  http://lobitobueno.webcindario.com/espacio-vectorial.txt


Tags: espacio vectorial, vectores

Publicado por blasapisguncuevas @ 3:03  | + Artículos y Wikipedia
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