Lunes, 24 de enero de 2011

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama di?metro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del di?metro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia s?lo posee longitud. Se distingue del c?rculo en que ?ste es el lugar geom?trico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el per?metro del c?rculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. Tambi?n se puede describir como la secci?n, perpendicular al eje, de una superficie c?nica o cil?ndrica, o como un pol?gono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniom?trica .[1] [2] [3] [4] [5]

Es una curva plana con infinitos ejes de simetr?a y sus aplicaciones son muy numerosas.

Circle - black simple.svg

Contenido

[editar] Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

  • centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
  • radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
  • di?metro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y l?gicamente, pasa por el centro;
  • cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud m?xima son los di?metros;
  • recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
  • recta tangente, la que toca a la circunferencia en un s?lo punto;
    • punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
  • arco, el segmento curvil?neo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
  • semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un di?metro.

[editar] Posiciones relativas

[editar] La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

  • Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
  • Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
  • Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

[editar] La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

  • Exterior, si no tienen ning?n punto en com?n con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
  • Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
  • Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

[editar] Dos circunferencias

Circunfer?ncias.png

Dos circunferencias, en funci?n de sus pocisones relativas, se denominan:

  • Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
  • Tangentes exteriormente, si tienen un punto com?n y todos los dem?s puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
  • Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en m?s de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ?ngulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
  • Tangentes interiormente, si tienen un punto com?n y todos los dem?s puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
  • Interiores exc?ntricas, si no tienen ning?n punto com?n y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
  • Interiores conc?ntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
  • Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen m?s de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

[editar] ?ngulos en una circunferencia

?ngulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ?ngulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ?ngulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

?ngulo central, si tiene su v?rtice en el centro de ?sta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ?ngulo central es igual a la del arco que abarca.

?ngulo inscrito, si su v?rtice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ?ngulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ?ngulo central que delimita dicho arco. (V?ase: arco capaz.)

?ngulo semi-inscrito, si su v?rtice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El v?rtice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ?ngulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

?ngulo interior, si su v?rtice est? en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ?ngulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados m?s la del arco que abarcan sus prolongaciones.

?ngulo exterior, si tiene su v?rtice en el exterior de la circunferencia

[editar] Longitud de la circunferencia

La longitud \ell de una circunferencia es:

 \ell = \pi \cdot 2r

donde  r \, es la longitud del radio.

Pues \pi \, (n?mero pi), por definici?n, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el di?metro:

 \pi = \frac {\ell}{2r}

[editar] Ecuaciones de la circunferencia

[editar] Ecuaci?n en coordenadas cartesianas

Circle center a b radius r.svg

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuaci?n

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,.

Cuando el centro est? en el origen (0, 0), la ecuaci?n anterior se simplifica al

x^2 + y^2 = r^2\,.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniom?trica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuaci?n general de una circunferencia,

(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \,

se deduce:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,

resultando:

a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}

Si conocemos los puntos extremos de un di?metro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,,

la ecuaci?n de la circunferencia es:

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

[editar] Ecuaci?n vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuaci?n vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \,. Donde \theta \, es el par?metro de la curva, adem?s cabe destacar que \theta\in[0,2\pi). Se puede deducir f?cilmente desde la ecuaci?n cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuaci?n da como resultado un cilindro, dejando el par?metro Z libre.

[editar] Ecuaci?n en coordenadas polares

Unit circle.svg

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,

 r=c. \,

Cuando el centro no est? en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuaci?n se transforma en:

r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

[editar] Ecuaci?n en coordenadas param?tricas

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonom?tricas como:

x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]

y con funciones racionales como

x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty

[editar] ?rea

Art?culo principal: ?rea de un c?rculo
?rea del c?rculo = π ? ?rea del cuadrado sombreado.

El ?rea del c?rculo delimitado por la circunferencia es:

 A = \pi \cdot r^2

Esta ?ltima f?rmula se deduce sabiendo que el ?rea de cualquier pol?gono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el per?metro del pol?gono, es decir: A = \frac{p \cdot a}{2}.

Considerando la circunferencia como el caso l?mite de un pol?gono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el per?metro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2

[editar] Otras propiedades

PotenciaPunto.svg
  • Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos formados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otra cuerda, A_1 P \cdot P B_1 = A_2 P \cdot P B_2.
  • El segundo teorema de Tales muestra que si los tres v?rtices de un tri?ngulo est?n sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el di?metro de la circunferencia, entonces, el ?ngulo opuesto a ?ste lado es un ?ngulo recto (v?ase arco capaz).
Tri?ngulos rect?ngulos inscritos en una semicircunferencia.
  • Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una ?nica circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estar? circunscrita al tri?ngulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) \,, la ecuaci?n de la circunferencia est? dada de forma simple por la determinante matricial:
\det\begin{bmatrix}x & y & x^2 + y^2 & 1 \\x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\\end{bmatrix} = 0.

[editar] Circunferencia en topolog?a

En topolog?a, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometr?a (es decir, la esfera 1?dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un segmento cerrado.[6]

Los ge?metras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera, mientras que top?logos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como S^2\;.[7]

[editar] V?ase tambi?n

[editar] Referencias

  1. "Introducci?n a la geometr?a" Eugenio Roanes Mac?as. Anaya editorial. 1? ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
  2. "Geometr?a Diferencial" Antonio L?pez de la Rica, Agust?n de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
  3. "Geometr?a anal?tica del plano y del espacio". Jes?s M. Ruiz. Anaya, 1? ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
  4. "C?lculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edici?n, 1991. Editorial Revert?, S.A. ISBN 84-291-5002-1
  5. "C?lculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edici?n, 2006. ISBN 970-10-5274-9
  6. Diccionario de t?rminos de topolog?a empleados por Jacques Lacan.
  7. Weisstein, Eric W., ?Sphere? (en ingl?s), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html, consultado el 2009?.

[editar] Enlaces externos


Tags: circunferencia, plano, círculo, segmento, diámetro, secante

Comentarios
Discurso Impecable de Fidel Castro y ¿Por qué MoReNa? @Taibo2 Paco Ignacio Taibo II

Pirámide capitalista
Pirámide capitalista. actualizada