Lunes, 24 de enero de 2011
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En geometr?a, arco es cualquier curva cont?nua que une dos, o un semicirculo puntos.[1] Tambi?n, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por su cuerda.

Arco de una circunferencia.

Contenido

[editar] C?lculo de la longitud de un arco

[editar] M?todos hist?ricos

[editar] Antig?edad

Tan bien es un semic?rculo. A lo largo de la historia de las matem?ticas, muchos grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Arqu?medes hab?a descubierto un m?todo por aproximaci?n de rect?ngulos para calcular el ?rea de un pol?gono curvil?neo mediante el m?todo de exhausci?n, aunque pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud medible, como en las bobob l?neas rectas como reglas


Las primeras mediciones se hicieron, como ya es com?n en el c?lculo, a trav?s de m?todos de aproximaci?n. Los matem?ticos de la ?poca empezaron a trazar pol?gonos dentro de la curva, y calculando la longitud de los lados de estos, obten?an la longitud aproximada de la curva. Mientras m?s segmentos se usaban, y se disminu?a la longitud de cada segmento, se obten?a una aproximaci?n cada vez mejor.

M?todo de exhausci?n: c?lculo de la longitud de la circunferencia mediante la aproximaci?n de pol?gonos inscritos y circunscritos.

[editar] Siglo XVII

En esta ?poca, el m?todo de agotamiento llev? a la rectificaci?n por m?todos geom?tricos de muchas curvas trascendentales: la espiral logar?tmica por Torricelli en 1645 (algunos piensan que fue John Wallis en 1650); el cicloide por Christopher Wren en 1658, y la catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.

Determinar la longitud de arco de un segmento irregular ?tambi?n llamado rectificaci?n de una curva? hist?ricamente fue dif?cil. Aunque fueron utilizados varios m?todos para curvas espec?ficas, la llegada del c?lculo trajo consigo f?rmulas generales que daban soluciones concretas para algunos casos.

La longitud de un arco de circunferencia de radio r y ?ngulo θ (medido en radianes), con el centro en el origen, es igual a θr. Para un ?ngulo α, medido en grados, la longitud en radianes es α/180? ? π, siendo la longitud de arco igual a (α/180?)πr.

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[editar] M?todos modernos

Al considerar una funci?n  f \left ( x \right ) y su respectiva derivada  f' \left ( x \right ) , que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud suya del arco delimitado por a y b es dada por la f?rmula:

 s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx

Si la funci?n est? definida param?tricamente, donde  x = f \left ( t \right ) e  y = g \left ( t \right ) :

 s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left [ f' \left ( t \right ) \right ] ^2 + \left [ g' \left ( t \right ) \right ] ^2} \, dt

Si la funci?n est? en coordenadas polares, donde la coordenada radial y el ?ngulo est?n relacionados r = fGui?o, la longitud de una curva se reduce a:

 s = \int_{a}^{b} \sqrt{r^2 + \left [ \frac {dr}{d \theta\ } \right ] ^2} \, d \theta\

En la mayor?a de los casos no hay una soluci?n disponible y ser? necesario usar m?todos de integraci?n. Por ejemplo, aplicar esta f?rmula a una elipse llevar? a una integral el?ptica de segundo orden.

Entre las curvas con soluciones conocidas est?n la circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logar?tmica y par?bola.

[editar] Longitud de arco

La longitud de arco es una medida de la longitud de un arco de una curva cualquiera, si viene dada en coordenadas cartesianas la longitud de arco puede calcularse como:

L_a = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + f'(x)^2}\ dx

Si la curva viene especificada en coordenadas polares, la longitud entre el ?ngulo φ1 y φ2 viene dada por:

L_a = \int_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{\rho'(\phi)^2 + \rho(\phi)^2}\ d\phi

De esta ?ltima se deduce que para una circunferencia, dado que \scriptstyle \rho(\phi) = R y \scriptstyle \rho'(\phi) = 0, la longitud de arco puede expresarse sencillamente como:

L_a = R(\phi_2-\phi_1)\,

[editar] Notas

[editar] Bibliograf?a

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. ed. F?rmulas y tablas de matem?tica aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.?

[editar] V?ase tambi?n

[editar] Enlaces externos


Tags: arco, geometría, curva, puntos, cálculo, ángulo, método

Comentarios
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