Lunes, 24 de enero de 2011
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Una ecuaci?n es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o inc?gnitas, relacionados mediante operaciones matem?ticas. Los valores conocidos pueden ser n?meros, coeficientes o constantes; y tambi?n variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las inc?gnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuaci?n:

\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}

La letra x representa la inc?gnita, mientras que el coeficiente 3 y los n?meros 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuaci?n es encontrar los valores de las inc?gnitas que la satisfacen, y se llama soluci?n de una ecuaci?n a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la soluci?n es:

x = 5 \,

Todo problema matem?tico puede expresarse en forma de una o m?s ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen soluci?n, ya que es posible que no exista ning?n valor de la inc?gnita que haga cierta una igualdad dada. Tambi?n puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso de que todo valor posible de la inc?gnita haga cumplir la igualdad, la expresi?n se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matem?ticas, se denominar? inecuaci?n. Una ecuaci?n funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente n?meros sino funciones; y si en la ecuaci?n aparece alg?n operador diferencial se llama ecuaci?n diferencial.

Contenido

[editar] Ecuaci?n polinomial

Una ecuaci?n polinomial o ecuaci?n polin?mica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuaci?n, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, raz?n por la cual se suele considerar que una ecuaci?n polin?mica es aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero. Ejemplo:

x^3y+4x-y=-2xy  \,\!

sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:

x^3y+4x-y+2xy=0 \,\!

En cuanto a las ecuaciones polin?micas de grado n de una sola variable sobre los n?meros reales o complejos, estas pueden resolverse por el m?todo de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las ra?ces de la ecuaci?n es soluble). La soluci?n de la ecuaci?n de segundo grado es conocida desde la antig?edad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el m?todo de radicales. La soluci?n de la ecuaci?n de quinto grado no puede hacerse mediante el m?todo de radicales, aunque puede escribirse en t?rminos de la funci?n theta de Jacobi.

[editar] Ecuaci?n de primer grado

Se dice que una ecuaci?n es de primer grado cuando la variable (x) no est? elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuaci?n de primer grado tiene la forma can?nica:

ax+b=0\,

con a diferente de cero.

Su soluci?n es la m?s sencilla:  \, x = - b /a

[editar] Resoluci?n de ecuaciones de primer grado

Dada la ecuaci?n:

9x-9+108x-6x-92=16x+28+396 \,

1- Transposici?n:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuaci?n; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o n?mero) en los dos miembros, la igualdad no var?a.

En t?rminos coloquiales, se suele decir: si el n?mero est? sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el n?mero est? restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuaci?n quedar? as?:

9x+108x-6x-16x=28+396+9+92 \,

Como puede verse, todos los t?rminos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser s?lo constantes num?ricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificaci?n:

El siguiente paso es convertir la ecuaci?n en otra equivalente m?s simple y corta.

Realizamos la simplificaci?n del primer miembro:  \, 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x

Y simplificamos el segundo miembro:  \, 28+396+9+92 = 525

La ecuaci?n simplificada ser?:

 95x = 525 \,

3- Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un t?rmino de la igualdad.

Si multiplicamos por un mismo monomio (o n?mero) en los dos miembros, la igualdad no var?a.

En t?rminos coloquiales: si el n?mero est? multiplicando (Ej: ?2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el n?mero pasar? sin cambiar su signo).

Si dividimos entre un mismo monomio (o n?mero) en los dos miembros, la igualdad no var?a.

En t?rminos coloquiales: si el n?mero est? dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (?5) (el n?mero pasar? sin cambiar su signo).

Coloquialmente: en la ecuaci?n, debemos pasar el n?mero 95 al otro lado y, como est? multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

 x=525/95 \,

Se comprueba que el ejercicio est? te?ricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al n?mero 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracci?n (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracci?n y ?se es el resultado.

En la ecuaci?n, vemos que el resultado de la fracci?n es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la soluci?n es:

 x=105/19 \,

[editar] Resoluci?n de ecuaciones de primer grado: problema

Pongamos el siguiente problema: n?mero de canicas que tengo m?s tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ?Cu?ntas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresi?n algebraica:

x+3=2x-2 \,

Se podr?a leer as?: El n?mero de canicas que tengo m?s tres que me dan es igual al doble de mis canicas quit?ndome dos. El enunciado est? expresado, pero no podemos ver claramente cu?l es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

x+3=2x-2 \,

Primero se pasan todos los t?rminos que dependen de x al primer miembro y los t?rminos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier t?rmino que se cambia de miembro cambia tambi?n de signo. As? obtenemos:

x-2x=-2-3 \,

Que, simplificado, resulta:

-x=-5\,

Esta expresi?n nos lleva a una regla muy importante del ?lgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuaci?n, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuaci?n por el mismo n?mero, sin que ?sta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

x=5 \,

El problema est? resuelto.

[editar] Ecuaciones de segundo grado

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resoluci?n de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

[editar] Ecuaciones de la forma ax? + c = 0

Este tipo de ecuaciones son las m?s sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x^2-16=0 \,

Pasamos -16 al segundo miembro

x^2=16 \,

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operaci?n opuesta; en este caso, ra?z cuadrada

x=\pm \sqrt16 \,
x_1=4 \,
x_2=-4 \,

La ecuaci?n ya est? resuelta

Nota: si -c/a es un n?mero real negativo, las ra?ces de la ecuaci?n son imaginarias y pertenecer?n al campo de los n?meros complejos.

[editar] Ecuaciones de la forma ax? + bx = 0

Tengamos:

3x^2+9x=0 \,

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor com?n de ambas expresiones:

x(3x+9)=0 \,

Esta expresi?n es una multiplicaci?n cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. As? que, o el primer factor (x) es igual a cero (?sta es la primera soluci?n), o:

3x+9=0 \,
3x=-9 \,
x=\frac{-9}{3}=-3 \,


Por lo tanto, las dos soluciones v?lidas para esta ecuaci?n son 0 y -3.

x_1=0 \,
x_2=-3 \,

[editar] Ecuaciones de la forma ax? + bx + c = 0

Si tenemos la ecuaci?n cuadr?tica:  x^2 + 5x + 6 = 0 \,

Para resolver ecuaciones cuadr?ticas utilizamos la f?rmula general:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,

Si sustituimos las letras por los n?meros, siendo:

a = coeficiente de la inc?gnita elevada al cuadrado con su signo.
b = coeficiente de la inc?gnita elevada a uno.
c = coeficiente de la inc?gnita elevada a cero (el n?mero libre).
x=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{-5\pm1}{2}

A partir de esta f?rmula obtenemos las soluciones de esta ecuaci?n, que son: -2 y -3

Si el resultado obtenido dentro de la ra?z es un n?mero negativo, las soluciones son n?meros complejos.

M?todo II

Tambi?n podemos resolver ecuaciones cuadr?ticas del siguiente modo:

Si hallamos dos n?meros que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresi?n:

 x^2 + b x + c \,

es equivalente a:

 (x - m) (x - n) \,

siendo m y n los dos valores (o ra?ces) de la expresi?n.

En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.

luego, la igualdad:

 x^2 + 5x + 6 = 0 \,

es equivalente a:

 (x + 2)(x + 3)=0\,
Demostraci?n

Partiendo de la igualdad:  (x - m) (x - n) = 0 \,

operando, obtenemos:  x^2 - (m+n) x + (mn) = 0 \,

Luego, para a = 1, resulta:

 b = - (m+n) \,
 c = (mn) \,

m y n son dos n?meros que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.

[editar] Tipos de ecuaci?n algebraica

Una ecuaci?n algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuaci?n de este tipo se llama ecuaci?n condicional si hay n?meros en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el n?mero x=4 (y otros) no es una soluci?n. Si todo n?mero de los dominios de las expresiones de una ecuaci?n algebraica es una soluci?n, la ecuaci?n se llama identidad'.

[editar] V?ase tambi?n

[editar] Enlaces externos


Tags: ecuación, ecuaciones, segundo grado, diferencial, primer grado, tercer grado

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