Mi?rcoles, 26 de enero de 2011

Tri?ngulo

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El tri?ngulo es un pol?gono de tres lados.

Un tri?ngulo, en geometr?a, es un pol?gono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersecci?n de las rectas son los v?rtices y los segmentos de recta determinados son los lados del tri?ngulo. Dos lados contiguos forman uno de los ?ngulos interiores del tri?ngulo.

Por lo tanto, un tri?ngulo tiene 3 ?ngulos interiores, 3 lados y 3 v?rtices.

Si est? contenido en una superficie plana se denomina tri?ngulo, o tr?gono, un nombre menos com?n para este tipo de pol?gonos. Si est? contenido en una superficie esf?rica se denomina tri?ngulo esf?rico. Representado, en cartograf?a, sobre la superficie terrestre, se llama tri?ngulo geod?sico.

Contenido

Convenci?n de escritura

Un tri?ngulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geom?trica, como los v?rtices de un pol?gono, suelen ser designados por letras latinas may?sculas: A, B, C, ...

Un tri?ngulo se nombra entonces como cualquier otro pol?gono, nombrando sucesivamente sus v?rtices, por ejemplo ABC. En el caso del tri?ngulo, los v?rtices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles corresponde a un recorrido de su per?metro. Esto ya no es cierto para pol?gonos con m?s v?rtices.

Los lados del tri?ngulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del v?rtice opuesto, convertido a min?scula latina: a para BC, b para AC, c para AB.

La notaci?n general para el ?ngulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es \widehat{POQ} .\,

Tambi?n podemos utilizar una letra min?scula, habitualmente griega, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ?ngulos deben ser designados por letras may?sculas y su medida por min?sculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notaci?n). En el caso de un tri?ngulo, el ?ngulo entre dos lados todav?a puede, por tolerancia y en ausencia de ambig?edad, ser designado por el nombre del v?rtice com?n, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ?ngulos:

\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \ et\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,


Clasificaci?n de los tri?ngulos

Los tri?ngulos se pueden clasificar por la relaci?n entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ?ngulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo tri?ngulo se clasifica:

  • como tri?ngulo equil?tero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ?ngulos internos miden 60 grados ? \pi/3\, radianes.)
  • como tri?ngulo is?sceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ?ngulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, fil?sofo griego, demostr? que un tri?ngulo is?sceles tiene dos ?ngulos iguales, estableciendo as? una relaci?n entre longitudes y ?ngulos; a lados iguales, ?ngulos iguales[1] ), y
  • como tri?ngulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un tri?ngulo escaleno no hay dos ?ngulos que tengan la misma medida).
Tri?ngulo equil?tero. Tri?ngulo is?sceles. Tri?ngulo escaleno.
Equil?tero Is?sceles Escaleno

Por la amplitud de sus ?ngulos

Por la amplitud de sus ?ngulos, los tri?ngulos se clasifican en:

  • Tri?ngulo rect?ngulo: si tiene un ?ngulo interior recto (90?). A los dos lados que conforman el ?ngulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
  • Tri?ngulo obtus?ngulo?: si uno de sus ?ngulos interiores es obtuso (mayor de 90?); los otros dos son agudos (menores de 90?).
  • Tri?ngulo acut?ngulo: cuando sus tres ?ngulos interiores son menores de 90?. El tri?ngulo equil?tero es un caso particular de tri?ngulo acut?ngulo.
Tri?ngulo Rect?ngulo Tri?ngulo Obtus?ngulo Tri?ngulo Acut?ngulo
Rect?ngulo Obtus?ngulo Acut?ngulo
\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}
Oblicu?ngulos

Se llama tri?ngulo oblicu?ngulo cuando ninguno de sus ?ngulos interiores son rectos (90?). Por ello, los tri?ngulos obtus?ngulos y acut?ngulos son oblicu?ngulos.

Clasificaci?n seg?n los lados y los ?ngulos

Los tri?ngulos acut?ngulos pueden ser:

  • Tri?ngulo acut?ngulo is?sceles: con todos los ?ngulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este tri?ngulo es sim?trico respecto de su altura.
  • Tri?ngulo acut?ngulo escaleno: con todos sus ?ngulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetr?a.
  • Tri?ngulo acut?ngulo equil?tero: sus tres lados y sus tres ?ngulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetr?a (dividen al tri?ngulo en dos tri?ngulos iguales).


Los tri?ngulos rect?ngulos pueden ser:

  • Tri?ngulo rect?ngulo is?sceles: con un ?ngulo recto y dos agudos iguales (de 45? cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es sim?trico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ?ngulo recto.
  • Tri?ngulo rect?ngulo escaleno: tiene un ?ngulo recto, y todos sus lados y ?ngulos son diferentes.


Los tri?ngulos obtus?ngulos pueden ser:

  • Tri?ngulo obtus?ngulo is?sceles: tiene un ?ngulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ?ngulo obtuso; el otro lado es mayor que ?stos dos.
  • Tri?ngulo obtus?ngulo escaleno: tiene un ?ngulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Tri?ngulo equil?tero is?sceles escaleno
acut?ngulo Tri?ngulo equil?tero.svg Tri?ngulo acut?ngulo is?sceles.svg Tri?ngulo acut?ngulo escaleno.svg
rect?ngulo Tri?ngulo rect?ngulo is?sceles.svg Tri?ngulo rect?ngulo escaleno.svg
obtus?ngulo Tri?ngulo obtus?ngulo is?sceles.svg Tri?ngulo obtus?ngulo escaleno.svg

Congruencia de tri?ngulos

Art?culo principal: Congruencia de tri?ngulos

Dos tri?ngulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus v?rtices de tal manera que el ?ngulo del v?rtice y los lados que lo componen, en uno de los tri?ngulos, sean congruentes con los del otro tri?ngulo.

Postulados de congruencia

Tri?nguloPostulados de congruencia
Postulado LAL.svg Postulado LAL (Lado, ?ngulo, Lado)

Dos tri?ngulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro tri?ngulo, y los ?ngulos comprendidos entre esos lados tienen tambi?n la misma medida.

Postulado ALA.svg Postulado ALA (?ngulo, Lado, ?ngulo)

Dos tri?ngulos son congruentes si dos ?ngulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ?ngulos es el lado com?n a ellos).

Postulado LLL.svg Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dos tri?ngulos son congruentes si cada lado de un tri?ngulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro tri?ngulo.

Teoremas de congruencia

Tri?nguloTeoremas de congruencia
Teorema AAL (?ngulo, ?ngulo, Lado)

Dos tri?ngulos son congruentes si dos ?ngulos y un lado, no comprendido entre los ?ngulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencias de tri?ngulos rect?ngulos

  • Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos tri?ngulos rect?ngulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los tri?ngulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
  • Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos tri?ngulos rect?ngulos son congruentes si los catetos de uno de los tri?ngulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
  • Criterio HA (Hipotenusa, ?ngulo). Dos tri?ngulos rect?ngulos son congruentes si la hipotenusa y un ?ngulo agudo de uno de los tri?ngulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
  • Criterio CA (Cateto, ?ngulo). Dos tri?ngulos rect?ngulos son congruentes si el cateto un ?ngulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los tri?ngulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de tri?ngulos

Art?culo principal: Tri?ngulos semejantes

?

  • Criterio aa (?ngulo, ?ngulo). Si dos de sus ?ngulos son semejantes
  • Criterio lal (lado, ?ngulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ?ngulo comprendido entre ellos es congruente.
  • Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de tri?ngulos rect?ngulos

Dos tri?ngulos rect?ngulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:

  • Si uno tiene un ?ngulo agudo de igual amplitud que un ?ngulo agudo del otro.
  • Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
  • Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los tri?ngulos

Un cuadril?tero con sus diagonales.
Un tetraedro.

Un tri?ngulo puede ser definido como un pol?gono de tres lados, o como un pol?gono con tres v?rtices.

Despu?s del punto y el segmento, el tri?ngulo es el pol?gono m?s simple. Es el ?nico que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un tri?ngulo (y un plano). Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman un cuadril?tero, cuatro puntos que no est?n en el mismo plano no definen un pol?gono, sino un tetraedro

Por otra parte, cada pol?gono puede ser dividido en un n?mero finito de tri?ngulos que se forman con una triangulaci?n del pol?gono. El n?mero m?nimo de tri?ngulos necesarios para esta divisi?n es n − 2, donde n es el n?mero de lados del pol?gono. El estudio de los tri?ngulos es fundamental para el estudio de otros pol?gonos, por ejemplo para la demostraci?n del Teorema de Pick.

Triangle with notations 2.svg
La suma de los ?ngulos de un tri?ngulo es 180 grados.

Euclides hab?a demostrado este resultado en sus Elementos (proposici?n I-32) de la siguiente manera: trazamos la paralela a la l?nea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ?ngulos iguales, codificados en color rojo en la figura de al lado (?ngulos alternos-internos). Del mismo modo, los ?ngulos codificados en color azul son iguales (?ngulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ?ngulos del v?rtice C es el ?ngulo llano. As? que la suma de las medidas del ?ngulo de color rojo, del ?ngulo verde y del azul es un ?ngulo de 180 ? (o π radianes). La suma de los ?ngulos de un tri?ngulo es 180 ?.

Esta propiedad es el resultado de la geometr?a euclidiana. No se verifica en general en la geometr?a no euclidiana.

  • La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
  • El valor de la paralela media de un tri?ngulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
  • Para cualquier tri?ngulo se verifica el Teorema del seno que establece: ?Los lados de un tri?ngulo son proporcionales a los senos de los ?ngulos opuestos?:
\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}
El teorema de Pit?goras gr?ficamente.
  • Para cualquier tri?ngulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que ?El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ?ngulo comprendido?:
a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,
b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,
c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,
  • Para cualquier tri?ngulo rect?ngulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pit?goras:
  a^2 + b^2 = c^2  \,


Centros del tri?ngulo

Geom?tricamente se pueden definir varios centros en un tri?ngulo:

El ?nico caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un ?nico punto es en un tri?ngulo equil?tero.

C?lculo de los lados y los ?ngulos de un tri?ngulo

En general, hay varios m?todos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ?ngulo. Mientras que ciertos m?todos pueden ser adecuados para calcular los valores de un tri?ngulo rect?ngulo, otros pueden ser requeridos en situaciones m?s complejas.

Para resolver tri?ngulos utilizamos generalmente el Teorema de Pit?goras cuando son tri?ngulos rect?ngulos, o los Teoremas del seno y del coseno.

Razones trigonom?tricas en tri?ngulos rect?ngulos

Art?culo principal: Funciones trigonom?tricas
Un tri?ngulo rect?ngulo siempre incluye un ?ngulo de 90? (π/2 radianes), aqu? etiquetado C. Los ?ngulos A y B puede variar. Las funciones trigonom?tricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ?ngulos interiores de un tri?ngulo rect?ngulo.

En tri?ngulos rect?ngulos, las razones trigonom?tricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ?ngulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del tri?ngulo son encontrados como sigue:

  • La hipotenusa es el lado opuesto al ?ngulo recto, o definida como el lado m?s largo de un tri?ngulo rect?ngulo, en este caso h.
  • El cateto opuesto es el lado opuesto al ?ngulo en que estamos interesados, en este caso a.
  • El cateto adyacente es el lado que est? en contacto con el ?ngulo en que estamos interesados y el de ?ngulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el cateto adyacente es b.

Seno, coseno y tangente

El seno de un ?ngulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

\text{sen} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.

El coseno de un ?ngulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.

La tangente de un ?ngulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. En nuestro caso

\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.

Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tama?o del tri?ngulo rect?ngulo, mientras contenga el ?ngulo A, puesto que todos esos tri?ngulos son semejantes.

Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnem?nico ?til para estos cocientes.

Funciones inversas

Las funciones trigonom?tricas inversas pueden ser usadas para calcular los ?ngulos internos de un tri?ngulo rect?ngulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ?ngulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

\theta = \arcsin \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ?ngulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

\theta = \arccos \left( \frac{\color{Blue}\textrm{adyacente}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ?ngulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

\theta = \arctan \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Blue}\textrm{adyacente}} \right)

En los cursos introductorios de geometr?a y trigonometr?a, la notaci?n sin−1, cos−1, etc., es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notaci?n de arcsin, arccos, etc., es est?ndar en matem?ticas superiores donde las funciones trigonom?tricas son com?nmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusi?n entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

Elementos notables de un tri?ngulo

Medianas y centro de gravedad

Art?culo principal: Mediana (geometr?a)
Medianas y centro de gravedad de un tri?ngulo.

El segmento de recta que va de un v?rtice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.

Las tres medianas de un tri?ngulo concurren en un punto, G en la figura, llamado centroide o baricentro del tri?ngulo. Si ?ste es de densidad homog?nea, entonces el centroide G es el centro de masas del tri?ngulo.[3]?

Contin?a en: https://lobitobueno.webcindario.com/triangulo.txt


Tags: wikipedia, triángulo, polígono, vértices, ángulo, criterio, postulado

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