Mi?rcoles, 26 de enero de 2011

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Intersecci?n de dos planos en un espacio tridimensional. Representaci?n isom?trica de dos planos perpendiculares.
Representaci?n gr?fica informal de un plano.

En geometr?a, un plano es el ente ideal que s?lo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geom?tricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relaci?n a otros elementos geom?tricos similares. Se suele describir apoy?ndose en los postulados caracter?sticos, que determinan las relaciones entre los entes geom?tricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geom?tricos:

  • Tres puntos no alineados.
  • Una recta y un punto exterior a ella.
  • Dos rectas paralelas.
  • Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gr?ficamente, para su mejor visualizaci?n, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Contenido

[editar] Ecuaci?n del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geom?tricos: un punto y dos vectores

Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)

(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(a_1, b_1 ,c_1) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!

?sta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma m?s utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto gen?rico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuaci?n del plano es:

\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 =>  \begin{vmatrix}x-P_x & y-P_y & z-P_z\\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z\end{vmatrix}=0 => A x +B y +C z + D =0

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la f?rmula para hallar la ecuaci?n cuando no est? en el origen es:

a(xh) + b(yk) + c(zj) = 0

[editar] Posici?n relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y tambi?n tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

  • Planos coincidentes: si tienen la misma direcci?n los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
  • Planos paralelos: si tienen la misma direcci?n los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
  • Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma direcci?n.

[editar] V?ase tambi?n

[editar] Enlaces externos


Tags: Plano, geometría, ente, ideal

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