Mi?rcoles, 26 de enero de 2011
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Vector space illust.svg

Un espacio vectorial es una estructura matem?tica creada a partir de un conjunto no vac?o con una operaci?n suma interna al conjunto y una operaci?n producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamar? vectores y a los elementos del cuerpo se les llamar? escalares.

Hist?ricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometr?a anal?tica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulaci?n moderna y axiom?tica se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teor?a de espacios vectoriales provienen del an?lisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de An?lisis funcional requer?an resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topolog?a, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topol?gicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teor?a m?s rica y elaborada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matem?tica, la ciencia y la ingenier?a. Se utilizan en m?todos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresi?n de im?genes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Adem?s, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geom?tricos y f?sicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante t?cnicas de linealizaci?n.

Contenido

[editar] Definici?n de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K_{}^{} (como el cuerpo de los n?meros reales o los n?meros complejos) es un conjunto V_{}^{} no vac?o, dotado de dos aplicaciones:

\begin{matrix} Suma\;\;+: & {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & {(u,v)} & \mapsto & {u+v} \end{matrix} operaci?n interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
u+v=v+u, \forall{} u,v \in{} V
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
u+(v+w)=(u+v)+w, \forall{} u,v,w \in{} V
3) tenga elemento neutro 0, es decir
\exists{}0 \in{} V?: u+0=u, \forall{} u \in{} V
4) tenga elemento opuesto, es decir
\forall{} u \in{} V,\exists{}-u \in{} V?: u+(-u)=0

\begin{matrix} Producto\;\;\cdot{}: & {K \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & {(a,u)} & \mapsto & {au} \end{matrix} operaci?n externa tal que:

a) a(bu)=(ab)u,\forall{}a,b\in{}K,\forall{} u \in{} V
b) \exists{}1 \in{} K,1u=u,\forall{} u \in{} V
c) a(u+v)=au+av,\forall{}a\in{}K,\forall{} u,v \in{} V
d) (a+b)u=au+bu,\forall{}a,b\in{}K,\forall{} u \in{} V

Los elementos de K_{}^{} se llaman escalares.

Los elementos de V_{}^{} se llaman vectores.

V?ase tambi?n: Espacio eucl?deo

[editar] Observaci?n

Para demostrar que un conjunto V_{}^{} es un espacio vectorial:

  • Si supi?semos que V_{}^{} es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendr?amos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
  • Si supi?semos que el producto es una acci?n por la izquierda de V_{}^{} tendr?amos probados los apartados a y b.
  • Si no se dice lo contrario,  au \neq ua .

[editar] Notaciones

  • Un K_{}^{}-espacio vectorial es un espacio vectorial sobre un cuerpo K_{}^{}.
  • u-v:=u+(-v), tambi?n (-u)+v:=-u+v.
  • 0:=\vec{0}, se distingue del escalar cero por el contexto(este ?ltimo a?n no ha salido).

[editar] Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

supongamos que el neutro no es ?nico, es decir, sean 0_1^{} y 0_2^{} dos vectores neutros, entonces:
  • u + 0_1 = u = u + 0_2 \Rightarrow u + 0_1 = u + 0_2 \Rightarrow 0_1 = 0_2 \Rightarrow \exists?! 0 \in V .

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

supongamos que el opuesto no es ?nico, es decir, sean -u_1^{} y -u_2^{} dos vectores opuestos de u_{}^{}, entonces, como el neutro es ?nico:
  • u -u_1 = 0 = u -u_2 \Rightarrow u -u_1 = u -u_2 \Rightarrow -u_1 = -u_2 \Rightarrow \exists?! -u \in V.

Unicidad del elemento 1_{}^{} en el cuerpo K_{}^{}:

supongamos que 1 no es ?nico, es decir, sean 1_1^{} y 1_2^{} dos unidades, entonces:
  • a1_1 = a = a1_2 \Rightarrow a1_1 = a1_2 \Rightarrow 1_1 = 1_2 \Rightarrow \exists?! 1 \in K.

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K_{}^{}:

supongamos que el inverso a_{}^{-1} de a, no es ?nico, es decir, sean a_1^{-1} y a_2^{-1} dos opuestos de a_{}^{}, entonces, como el neutro es ?nico:
  • aa_1^{-1} = 1 = aa_2^{-1} \Rightarrow  aa_1^{-1} = aa_2^{-1} \Rightarrow  a_1^{-1} = a_2^{-1} \Rightarrow \exists?! a^{-1} \in K.

Producto de un escalar por el vector neutro:

  • a0 = a(0+0)=a0+a0 \Rightarrow 0=a0_{}^{}.

Producto del escalar 0 por un vector:

  • 0u = (0+0)u=0u+0u \Rightarrow 0=0u_{}^{}.

Si  au=0 \Rightarrow  a=0 o u=0_{}^{}.

  • Si a=0 es cierto. Si  a \neq 0 \Rightarrow \exists?! a^{-1} \in K?: a^{-1}a=1 \Rightarrow u=1u=(a^{-1}a)u=a^{-1}(au)=a^{-1}0=0 \Rightarrow u = 0.

Signos equivalentes:

  • u+(-1)u=1u+(-1)u=(1-1)u=0u=0 \Rightarrow (-1)u=-u_{}^{}.

[editar] Notaci?n

  • -au:=-(au)=(-a)u=a(-u).

[editar] Primer ejemplo con demostraci?n al detalle

Queremos ver que \mathbb{R}^2 es un espacio vectorial sobre \mathbb{R}

Veamos pues que \mathbb{R}^2 juega el papel de V_{}^{} y \mathbb{R} el de K_{}^{}:
Los elementos u \in V=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times{}\mathbb{R} son, de forma gen?rica, u=(x,y), es decir, pares de n?meros reales.
En V_{}^{} defino la operaci?n u+v = (x1,y1) + (x2,y2)?:= (x1+x2,y1+y2) = (x3,y3) que pertenece a V_{}^{}, esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
1)u+v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) = (x2,y2) + (x1,y1) = v+u, es decir u+v=v+u.
2)u+(v+w) = u + ((x2,y2) + (x3,y3)) = u + (x2+x3,y2+y3) = (x1,y1) + ( (x2+x3) , (y2+y3) ) = (x1+(x2+x3),y1+(y2+y3)) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3), ahora v?ase que (u+v)+w es lo mismo, es decir u+(v+w)=(u+v)+w.
3)u+(0,0) = (x,y)+(0,0) = (x+0,y+0) = (x,y) = u, es decir (0,0)=0 cero de V.
4)u = (x,y), u+(-x,-y) = (x,y)+(-x,-y) = (x-x,y-y) = (0,0) = 0, es decir -u:=(-x,-y) en general.
defino la operaci?n au = a(x,y)?:= (ax,ay) = (x2,y2) que pertenece a V_{}^{}, esto implica que la multiplicaci?n de vector por escalar es externa y a?n as? est? bien definida.
a) a(bu) = a(b(x,y)) = a(bx,by) = (a(bx),a(by)) = ((ab)x,(ab)y) = (ab)(x,y) = (ab)u, es decir a(bu)=(ab)u.
b) 1u = 1(x,y) = (1x,1y) = (x,y) = u, es decir 1u=u.
c) a(u+v) = a((x1,y1)+(x2,y2)) = a(x1+x2,y1+y2) = (a(x1+x2),a(y1+y2)) = (ax1+ax2,ay1+ay2) = (ax1,ay1)+(ax2,ay2) = au+av, es decir a(u+v)=au+av.
d) (a+b)u = (a+b)(x,y) = ((a+b)x,(a+b)y) = (ax+bx,ay+by) = (ax,ay)+(bx,by) = au+bu, es decir (a+b)u=au+bu.

Queda demostrado que es espacio vectorial.

[editar] Representaci?n de espacios vectoriales

Aunque hay quien no recomienda el uso de pinturas para evitar la confusi?n de conceptos y la inducci?n al error, sin investigaci?n que lo corrobore, tambi?n es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello veamos las notas:

  • Llamaremos vector a la representaci?n visual con el s?mbolo de flecha( un segmento y un tri?ngulo en un extremos).
  • La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en s?mbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.
  • El que una flecha cierre en s? misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
  • Para visualizar la suma de vectores se har? encaden?ndolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un tri?ngulo(final) del primer vector con el extremo que no lo tiene(origen) del segundo vector manteniendo la direcci?n y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

Examinemos cada uno de los casos que aparecen en la definici?n:

La definici?n suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.
Vetorial space P.GIF
1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. V?ase que en f?sica los vectores en rojo simulan la descomposici?n de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.
Vectorial space P 1.GIF
2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.
Vectorial space P 2.GIF
3) Decir que existe un vector 0 tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificaci?n alguna a todos los vectores.
Vectorial space P 3.GIF
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.
Vectorial space P 4.GIF
La definici?n producto por escalar a \cdot u produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.
  • Los escalares se representar?n con una l?nea de trazos a modo, exclusivamente, de distinci?n ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

Por un lado la representaci?n del producto en el caso K = \mathbb{R} modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso K = \mathbb{C} adem?s de modificar la longitud, tambi?n agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente consid?rense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco m?s expresivas, visualmente, pero no m?s f?ciles que en el caso real:

Vectorial space P e.GIF
a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.
Vectorial space P a.GIF
b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificaci?n alguna a todos los vectores.
Vectorial space P b.GIF
c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.
Vectorial space P c.GIF
d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.
Vectorial space P d.GIF

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

[editar] Historia

Los espacios vectoriales se derivan de la geometr?a af?n, a trav?s de la introducci?n de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matem?ticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometr?a anal?tica mediante la vinculaci?n de las soluciones de una ecuaci?n con dos variables a la determinaci?n de una curva plana.[1] Para lograr una soluci?n geom?trica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, l?neas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baric?ntricas de August Ferdinand M?bius de 1827.[3] El origen de la definici?n de los vectores es la definici?n de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentaci?n de los n?meros complejos de Argand y Hamilton y la creaci?n de los cuaterniones por este ?ltimo (Hamilton fue adem?s el que invent? el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien tambi?n defini? los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notaci?n matricial, que permite una armonizaci?n y simplificaci?n de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudi? el c?lculo baric?ntrico iniciado por M?bius. Previ? conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensi?n, as? como de producto escalar est?n presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicaci?n, tambi?n, lo llev? a lo que hoy en d?a se llaman ?lgebras. El matem?tico italiano Peano dio la primera definici?n moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[6]

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcci?n de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto m?s tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el ?lgebra y el nuevo campo del an?lisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tambi?n en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

?Ejemplos de espacios vectoriales

?Los cuerpos

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre ?l mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo

Contin?a en:? https://lobitobueno.webcindario.com/espacio-vectorial.txt


Tags: espacio vectorial, vectores

Comentarios
Discurso Impecable de Fidel Castro y ¿Por qué MoReNa? @Taibo2 Paco Ignacio Taibo II

Pirámide capitalista
Pirámide capitalista. actualizada